Question

【題目】已知函數

（1）試討論在極值點的個數；

（2）若函數的兩個極值點為，且，為的導函數，設，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）對函數求導，討論導函數的正負，即可得到函數的單調性，從而可求出極值的個數；（2）先求出函數的表達式，進而可得到極值點的關系，可用來表示及，代入的表達式，然后構造函數關于的函數，求出值域即可.

解：（1）易知定義域為，.

①當時，恒成立，在為增函數，沒有極值點；

②當時，恒成立，在為增函數，沒有極值點；

③當時，，

由，令得，令得，

則在上單調遞減，在單調遞增，故只有一個極大值點，沒有極小值點；

④當時，由，令得，令得,

則在上單調遞增，在單調遞減，故只有一個極小值點，沒有極大值點.

（2）由條件得且有兩個根，滿足，

或，

因為，所以，故符合題意.

因為函數的對稱軸，，所以.

，

則，

因為，所以，

，

，

令，則，

顯然在上單調遞減，在單調遞增，

，

，

則.

故的取值范圍是.