Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面為平行四邊形

∠ADC＝45°，，為的中點，⊥平面，，為的中點．

(1)證明：⊥平面；

(2)求直線與平面所成角的正切值．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析.

(2) .

【解析】分析：(1)由題意可證得AD⊥AC.PO⊥AD，則AD⊥平面PAC.

(2)連接DO，取DO的中點N，連接MN，AN，由題意可知∠MAN是直線AM與平面ABCD所成的角．由幾何關系計算可得直線AM與平面ABCD所成角的正切值為.

詳解： (1)因為∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，

所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.

又PO⊥平面ABCD，AD平面ABCD，

所以PO⊥AD，而AC∩PO＝O，

所以AD⊥平面PAC.

(2)連接DO，取DO的中點N，連接MN，AN.

因為M為PD的中點，所以MN∥PO，

且MN＝PO＝1.由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，

所以∠MAN是直線AM與平面ABCD所成的角．

在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝，

所以DO＝，從而AN＝DO＝.

在Rt△ANM中，tan∠MAN＝＝＝，

即直線AM與平面ABCD所成角的正切值為.