Question

已知常數a＞0，向量

c

=（0，a），

i

=（1，0），經過原點O以

c

+λ

i

，為方向向量的直線與經過定點A（0，a）以i-2λc為方向向量的直線相交于點P，其中λ∈R．試問：是否存在兩個定點E、F，使得|PE|+|PF|為定值．若存在，求出E、F的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：根據

c

和

i

，求得

c

+λ

i

和

i

-2λ

c

進而可得直線OP和AP的方程，消去參數λ，得點P（x，y）的坐標滿足方程，進而整理可得關于x和y的方程，進而看當a=

2

2

時，方程為圓不符合題意；當0＜a＜

2

2

時和當a＞

2

2

時，P的軌跡為橢圓符合兩定點．

解答：解：∵i=（1，0），c=（0，a），
∴c+λi=（λ，a），i-2λc=（1，-2λa）．
因此，直線OP和AP的方程分別為λy=ax和y-a=（-2λa-a）x．
消去參數λ，得點P（x，y）的坐標滿足方程y（y-a）=-2a²x²．
整理得

x2

1 8

+

(y- a 2 )2

( a 2 )2

=1．①
因為a＞0，所以得：
（i）當a=

2

2

時，方程①是圓方程，故不存在合乎題意的定點E和F；
（ii）當0＜a＜

2

2

時，方程①表示橢圓，焦點E(

1

2

1 2 -a2

，

a

2

)和F(-

1

2

1 2 -a2

，

a

2

)為合乎題意的兩個定點；
（iii）當a＞

2

2

時，方程①也表示橢圓，焦點E(0，

1

2

(a+

a2- 1 2

))和F(0，

1

2

(a-

a2- 1 2

))為合乎題意的兩個定點．

點評：本題主要考查平面向量的概念和計算，求軌跡的方法，橢圓的方程和性質，利用方程判定曲線的性質，曲線與方程的關系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力．