Question

【題目】已知拋物線經過點， 在點處的切線交軸于點，直線經過點且垂直于軸．

（1）求線段的長；

（2）設不經過點和的動直線交于點和，交于點，若直線、、的斜率依次成等差數列，試問： 是否過定點？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的方程為，即恒過定點．

【解析】試題分析：(Ⅰ)運用切線與曲線的關系建立方程求解；(Ⅱ)借助題設條件建立方程分析求解即可.

試題解析:

（Ⅰ）由拋物線經過點，得

，故， 的方程為

在第一象限的圖象對應的函數解析式為，則

故在點處的切線斜率為，切線的方程為

令得，所以點的坐標為

故線段的長為

（Ⅱ）恒過定點，理由如下：

由題意可知的方程為，因為與相交，故

由，令，得，故

設

由消去得：

則，

直線的斜率為，同理直線的斜率為

直線的斜率為

因為直線、、的斜率依次成等差數列，所以

即

整理得： ，

因為不經過點，所以

所以，即

故的方程為，即恒過定點