【題目】過點
作拋物線
的兩條切線, 切點分別為
, 
.
（1） 證明: 
為定值;
（2） 記△
的外接圓的圓心為點
, 點
是拋物線
的焦點, 對任意實數(shù)
, 試判斷以
為直徑的圓是否恒過點
? 并說明理由.
【答案】（I）詳見解析；（II）詳見解析.
【解析】試題分析：(Ⅰ)對
求導，得到直線
的斜率為
，進一步得到直線
的方程為
. 將點點
代入直線
方程，整理得
.
同理, 
. 又
, 所以
為定值.
(Ⅱ)由題意可得)直線
的垂直平分線方程為
. ①
同理直線
的垂直平分線方程為
. ②
由①②解得點
. 又 拋物線
的焦點為
則
由
， 可得
所以以
為直徑的圓恒過點
試題解析：
(Ⅰ) 法1:由
,得
,所以
.
的斜率為
.
因為點
和
在拋物線
上, 所以
,
.
所以直線
的方程為
.
因為點
在直線
上,
所以
,即
.
同理, 
.
所以
是方程
的兩個根.
所以
.
又
,
所以
為定值.
法2:設過點
且與拋物線
相切的切線方程為
,
由
消去
得
,
由
, 化簡得
.
所以
.
由
,得
,所以
.
所以直線
的斜率為
,直線
的斜率為
.
所以
, 即
.
又
,
所以
為定值.
(Ⅱ) 法1：直線
的垂直平分線方程為
,
由于
,
,
所以直線
的垂直平分線方程為
. ①
同理直線
的垂直平分線方程為
. ②
由①②解得
, 
,
所以點
.
拋物線
的焦點為
則
由于
，
所以
所以以
為直徑的圓恒過點
另法: 以
為直徑的圓的方程為
把點
代入上方程,知點
的坐標是方程的解.
所以以
為直徑的圓恒過點
法2：設點
的坐標為
，
則△
的外接圓方程為
，
由于點
在該圓上，
則
，
.
兩式相減得
, ①
由(Ⅰ)知
,代入上式得
,
當
時, 得
, ②
假設以
為直徑的圓恒過點
,則
即
,
得
, ③
由②③解得
,
所以點
.
當
時, 則
,點
.
所以以
為直徑的圓恒過點
活力課時同步練習冊系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù) 
（a＞0且a≠1）是定義在R上的奇函數(shù)． （Ⅰ） 求實數(shù)a的值；
（Ⅱ） 證明函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
（Ⅲ）當x∈[1，+∞）時，mf（x）≤2x﹣2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
經(jīng)過點
， 
在點
處的切線交
軸于點
，直線
經(jīng)過點
且垂直于
軸．
（1）求線段
的長；
（2）設不經(jīng)過點
和
的動直線
交
于點
和
，交
于點
，若直線
、
、
的斜率依次成等差數(shù)列，試問： 
是否過定點？請說明理由．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
(1)討論函數(shù)
的單凋性；
(2)若存在
使得對任意的
不等式
（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）都成立，求實數(shù)
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】節(jié)日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立，且都在通電后的4秒內任一時刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時通電后，它們第一次閃亮的時候相差不超過2秒的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，等差數(shù)列{bn}中，bn＞0(n∈N*)，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式；
(2)求數(shù)列{an·bn}的前n項和Tn.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】數(shù)列{an}滿足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，則{an}的前60項和為（ ）
A. 3690 B. 3660 C. 1845 D. 1830
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】函數(shù) 
的定義域是（ ）
A.{x|x＜﹣4或x＞3}
B.{x|﹣4＜x＜3}
C.{x|x≤﹣4或x≥3}
D.{x|﹣4≤x≤3}
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】動點
與定點
的距離和它到定直線
的距離的比是
∶
，記點
的軌跡為
.
（1）求曲線的方程；
（2）對于定點
，作過點
的直線
與曲線交于不同的兩點
，
，求△
的內切圓半徑的最大值.
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