Question

【題目】設a為實數，函數，

（1）若，求不等式的解集；

（2）是否存在實數a，使得函數在區間上既有最大值又有最小值？若存在，求出實數a的取值范圍；若不存在，請說明理由；

（3）寫出函數在R上的零點個數（不必寫出過程）．

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在這樣的實數,理由見解析（3）見解析

【解析】

（1）代入的值,通過討論的范圍,求出不等式的解集即可；

（2）通過討論的范圍,求出函數的單調區間,再求出函數的最值,得到關于的不等式組,解出并判斷即可；

（3）通過討論的范圍,判斷函數的零點個數即可

（1）當時,,

則當時,,解得或,故；

當時,,解集為,

綜上,的解集為

（2）,顯然,,

①當時,則在上單調遞增,在上單調遞減,在上單調遞增,

因為函數在上既有最大值又有最小值,

所以,,

則,即,解得,

故不存在這樣的實數；

②當時,則在上單調遞增,在上單調遞減,在上單調遞增,

因為函數在上既有最大值又有最小值,

故,,

則,即,解得,

故不存在這樣的實數；

③當時,則為上的遞增函數,

故函數在上不存在最大值和最小值,

綜上,不存在這樣的實數

（3）當或時,函數的零點個數為1；

當或時,函數的零點個數為2；

當時,函數的零點個數為3