Question

（本小題滿分13分）已知正四棱錐P—ABCD的高為，底面邊長為，其內接正四棱柱EFGH—E₁F₁G₁H₁的四個頂點E、F、G、H在底面上，另外四個頂點E₁、F₁、G₁、H₁分別在棱PA、PB、PC、PD上（如圖所示），設正四棱柱的底面邊長為．

    （Ⅰ）設內接正四棱柱的體積為，求出函數的解析式；

     （Ⅱ）試求該內接正四棱柱的最大體積及對應的的值．

Answer 1

（Ⅰ）

解析:

（Ⅰ）設正四棱錐的底面中心為O，內接正四棱錐的高為，

       由已知條件和平面幾何知識得，

       ∴，∴EE₁，即，

       ∴，即；                 ……6分

       （Ⅱ）由（Ⅰ），

       令，則（舍去），或，

       且、與的取值變化如下表所示：

	+	0
		極大值

       ∴該內接正四棱柱當且僅當時，其體積取得最大值．  …………13分