Question

是否存在常數a，b，c，使得等式

1·2²+2·3²+…+n（n+1）²=（an²+bn+c）對一切正整數n都成立？證明你的結論.

Answer 1

解：假設存在常數a，b，c，使得等式成立.

則當n=1，2，3時，有

1·2²=（a+b+c），1·2²+2·3²=（4a+2b+c），1·2²+2·3²+3·4²=9a+3b+c.

得a=3，b=11，c=10.

下面用數學歸納法證明：

1·2²+2·3²+…+n（n+1）²=·（3n²+11n+10）.

（1）當n=1時，左邊=1·2²=4，右邊=4，等式成立.

（2）假設當n=k時，等式成立，即

1·2²+2·3²+…+k（k+1）²=·（3k²+11k+10）.

當n=k+1時

1·2²+2·3²+…+k（k+1）²+（k+1）（k+2）²=（3k²+11k+10）+（k+1）（k+2）²

=（k+2）（3k+5）+（k+1）（k+2）²=（3k²+5k+12k+24）

=［3（k+1）²+11（k+1）+10］,

即當n=k+1時，等式成立.

由（1）（2）可知，對任何正整數n，等式都成立.