Question

【題目】已知，

（1）若展開式中第5項，第6項與第7項的二項式系數成等差數列，求展開式中二項式系數最大項

的系數；

（2）若展開式前三項的二項式系數和等于79，求展開式中系數最大的項．

Answer 1

【答案】（1）70（2）（2x）10

【解析】

試題分析：（1）第k+1項的二項式系數為，由題意可得關于n的方程，求出n．而二項式系數最大的項為中間項，n為奇數時，中間兩項二項式系數相等；n為偶數時，中間只有一項．（2）由展開式前三項的二項式系數和等于79，可得關于n的方程，求出n．而求展開式中系數最大的項時，可通過解不等式組求得，假設項的系數最大，項的系數為，則有

試題解析：（1）通項Tr＋1＝n－r·（2x）r＝22r－nxr，（此題可以用組合數表示結果）

由題意知，，成等差數列，

∴＝，∴n＝14或7.

當n＝14時，第8項的二項式系數最大，該項的系數為22×7－14＝3 432；

當n＝7時，第4、5項的二項式系數相等且最大，

其系數分別為22×3－7=，22×4－7=70.

（2）由題意知＝79，

∴n＝12或n＝－13（舍）．

∴Tr＋1＝22r－12xr.

由得 ∴r＝10.

∴展開式中系數最大的項為T11＝22×10－12·x10＝（2x）10.