Question

已知命題：“?x∈x|-1≤x≤1，都有不等式x²-x-m＜0成立”是真命題．
（1）求實數m的取值集合B； 
（2）設不等式（x-3a）（x-a-2）＜0的解集為A，若x∈A是x∈B的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）分離出m，將不等式恒成立轉化為函數的最值，求出（x²-x）_max，求出m的范圍．
（2）通過對二次不等式對應的兩個根大小的討論，寫出集合A，“x∈A是x∈B的充分不必要條件”即A⊆B，求出a的范圍．

解答：解：（1）命題：“?x∈{x|-1≤x≤1}，都有不等式x²-x-m＜0成立”是真命題，
得x²-x-m＜0在-1≤x≤1恒成立，
∴m＞（x²-x）_max
得m＞2
即B=（2，+∞）
（2）不等式（x-3a）（x-a-2）＜0
①當3a＞2+a，即a＞1時
解集A=（2+a，3a），
若x∈A是x∈B的充分不必要條件，則A⊆B，
∴2+a≥2此時a∈（1，+∞）．
②當3a=2+a即a=1時
解集A=φ，
若x∈A是x∈B的充分不必要條件，則A?B成立．
③當3a＜2+a，即a＜1時
解集A=（3a，2+a），若
x∈A是x∈B的充分不必要條件，則A?B成立，
∴3a≥2此時a∈[

2

3

，1)．
綜上①②③：a∈[

2

3

，+∞)．

點評：解決不等式恒成立求參數的范圍問題，常采用分離參數求最值；解含參數的二次不等式時，長從二次項系數、判別式、兩個根的大小進行討論．