Question

若a，b是正常數，a≠b，x，y∈（0，+∞），則

a2

x

+

b2

y

≥

(a+b)2

x+y

，當且僅當

a

x

=

b

y

時上式取等號．利用以上結論，可以得到函數f(x)=

2

x

+

9

1-2x

（x∈(0，

1

2

)）的最小值為

 

．

Answer 1

分析：利用題中的結論：“

a2

x

+

b2

y

≥

(a+b)2

x+y

，當且僅當

a

x

=

b

y

時上式取等號”，將f（x）變形為 f(x)=

22

2x

+

32

1-2x

即可．

解答：解：將f（x）變形為 f(x)=

22

2x

+

32

1-2x

由題中結論得：
f(x)=

22

2x

+

32

1-2x

≥

(2+3)2

2x+(1-2x)

=25．
當且僅當

2

2x

=

3

1-2x

，
即 x=

1

5

時上式取最小值，即[f（x）]_min=25．
故答案為：25．

點評：本題考查不等式的應用，另外給你一種解題工具，讓你應用它來解答某一問題，這是近年考試命題的一種新穎的題型之一，很值得讀者深刻反思和領悟當中的思維本質．