Question

下列命題中真命題的個數為（　　）
①函數y=sin2α+

1

sin2α

的最小值是4
②

6

+

11

＞

3

+

14

③函數y=x

1-x2

的最大值是

1

2

④當x＞0且x≠1時，lgx+

1

lgx

≥2．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①利用基本不等式進行判斷．②先平方后證明不等式．③利用基本不等式判斷．④當0＜x＜1時，lgx＜0，基本不等式條件不成立．

解答：解：①由基本不等式得y=sin2α+

1

sin2α

≥2

sin2α? 1 sin2α

=2，當且僅當sin2α=

1

sin2α

，即sin²α=1，所以sinα=±1時取等號，所以最小值為2，所以錯誤．
②(

6

+

11

)2=17+2

66

，(

3

+

14

)2=17+2

52

，因為66＞52，所以

6

+

11

＞

3

+

14

成立，所以②正確．
③要使函數有意義，則1-x²≥0，即x²≤1，-1≤x≤1，y=x

1-x2

≤|x|

1-x2

=

x2(1-x2)

，
因為x2(1-x2)≤(

x2+1-x2

2

)=

1

4

，當且僅當x²=1-x²，即x²=1時取等號，此時

x2(1-x2)

≤

1 4

=

1

2

，所以③正確．
④當0＜x＜1時，lgx＜0，所以④錯誤．
故正確的命題為②③．
故答案選B．

點評：本題主要考查了基本不等式的應用，注意基本不等式使用的條件．