Question

已知a，b∈R，函數f(x)＝a＋ln(x＋1)的圖象與g(x)＝x3－x2＋bx的圖象在交點(0,0)處有公共切線．

(1)證明：不等式f(x)≤g(x)對一切x∈(－1，＋∞)恒成立；

(2)設－1＜x1＜x2，當x∈(x1，x2)時，證明：.

 

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

【解析】(1)由題意得f′(x)＝，g′(x)＝x2－x＋b，x＞－1，

則解得

∴f(x)＝ln(x＋1)(x＞－1)，g(x)＝x3－x2＋x.

令h(x)＝f(x)－g(x)

＝ln(x＋1)－x3＋x2－x(x＞－1)，

∴h′(x)＝－x2＋x－1＝－，

∴h(x)在(－1,0)上單調遞增，在(0，＋∞)上單調遞減，

∴h(x)≤h(0)＝0，∴f(x)≤g(x)．

(2)當x∈(x1，x2)時，由題意得－1＜x1＜x＜x2，

①設u(x)＝(x＋1)[f(x)－f(x1)]－(x－x1)，

則u′(x)＝ln(x＋1)－ln(x1＋1)＞0，

∴u(x)＞u(x1)＝0，即(x＋1)[f(x)－f(x1)]－(x－x1)＞0，

∴；

②設v(x)＝(x＋1)[f(x)－f(x2)]－(x－x2)，

則v′(x)＝ln(x＋1)－ln(x2＋1)＜0，

∴v(x)＞v(x2)＝0，即(x＋1)[f(x)－f(x2)]－(x－x2)＞0，

∴，

由①②得.