Question

【題目】如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=1，AB=2，點E是C1D1的中點．
（1）求證：DE⊥平面BCE；
（2）求二面角A﹣EB﹣C的大小．

Answer 1

【答案】（1）證明：建立如圖所示的空間直角坐標系，
則D（0，0，0），E（0，1，1），
B（1，2，3），C（0，2，0），
∴=（0，1，1），=（﹣1，﹣1，1），=（﹣1，0，0），
∵=0，=0，
∴DE⊥BE，DE⊥BC，
∵BE平面BCE，BC平面BCE，BE∩BC=B，
∴DE⊥平面BCE．
（2）解：設平面AEB的法向量=（x，y，z），
則，
取x=1，得=（1，0，1），
∵DE⊥平面BCE，∴=（0，1，1）是平面BCE的法向量，
∵cos＜,＞==，
∴二面角A﹣EB﹣C的大小為120°．

【解析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，利用向量法能證明DE⊥平面BCE．
（2）求出平面AEB的法向量和平面BCE的法向量，再利用向量法求出二面角A﹣EB﹣C的大小．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面垂直的判定(一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想)．