Question

已知a，b均為正數，且a+b=1，證明：
（1）（ax+by）²≤ax²+by²
（2）（a+

1

a

）²+（b+

1

b

）²≥

25

2

．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：證明題

分析：（1）將所證的關系式作差（ax+by）²-（ax²+by²）=a（a-1）x²+b（b-1）y²+2abxy利用a+b=1，整理，可得a（a-1）x²+b（b-1）y²+2abxy=-ab（x-y）²≤0，當且僅當x=y時等號成立；
（2）將所證的不等式左端展開，轉化為(a+

1

a

)2+(b+

1

b

)2=4+a 2+b2+(

1

a2

+

1

b2

)，進一步整理后，利用基本不等式即可證得結論成立．

解答： 證明：（1））（ax+by）²-（ax²+by²）=a（a-1）x²+b（b-1）y²+2abxy，
因為a+b=1，
所以a-1=-b，b-1=-a，又a，b均為正數，
所以a（a-1）x²+b（b-1）y²+2abxy=-ab（x²+y²-2xy）=-ab（x-y）²≤0，當且僅當x=y時等號成立；
（2）(a+

1

a

)2+(b+

1

b

)2=4+a 2+b2+(

1

a2

+

1

b2

)
=4+a2+b2+

(a+b)2

a2

+

(a+b)2

b2

=4+a2+b2+1+

2b

a

+

b2

a2

+

a2

b2

+

2a

b

+1
=4+(a2+b2)+2+2(

b

a

+

a

b

)+(

b2

a2

+

a2

b2

)≥4+

(a+b)2

2

+2+4+2=

25

2

．
當且僅當a=b時等號成立．

點評：本題考查不等式的證明，著重考查作差法的應用，突出考查等價轉化思想與邏輯推理能力，屬于難題．