Question

（12分）如圖，在棱長為1的正方體中，
（I）在側棱上是否存在一個點P，使得直線與平面所成角的正切值為
；（Ⅱ）若P是側棱上一動點，在線段上是否存在一個定點，使得在平面上的射影垂直于．并證明你的結論．

Answer 1

（I）略   （Ⅱ）略

解法一：（Ⅰ）如圖,設PC=m,連AC，  
設AC與BD相交于點O,AP與平面相交于點G，,
連結OG，因為PC∥平面，平面∩平面APC＝OG,故OG∥PC，§
K所以，OG＝PC＝．又AO⊥BD,AO⊥BB₁，所以AO⊥平面，故∠AGO是AP與平面所成的角．
在Rt△AOG中，tanAGO＝，
即m＝．所以，當PC＝時，
直線AP與平面所成的角的正切值為． …………………6分
（Ⅱ）可以推測，點Q應當是A₁C₁的中點O₁，因為D₁O₁⊥A₁C₁, 且 D₁O₁⊥A₁A ，所以 D₁O₁⊥平面ACC₁A₁，又AP平面ACC₁A₁，故 D₁O₁⊥AP．那么根據三垂線定理知，D₁O₁在平面APD₁的射影與AP垂直． …………………12分
解法二：(Ⅰ)建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，
B₁(1，1，1)，D₁(0，0，1)
所以
又由知，為平面的一個法向量．
設AP與平面所成的角為，
則。
依題意有解得．
故當時，直線AP與平面所成的角的正切值為． ………6分
（Ⅱ）若在A₁C₁上存在這樣的點Q，設此點的橫坐標為， 
則Q(x，1－，1)，。
依題意，要使D₁Q在平面APD₁上的射影垂直于AP，
等價于D₁Q⊥AP
即Q為A₁C₁的中點時，滿足題設要求． …………………12分