Question

設函數 ()．

（Ⅰ）求的單調區間；

（Ⅱ）試通過研究函數（）的單調性證明：當時，；

（Ⅲ）證明：當,且均為正實數,  時，．

 

Answer 1

【答案】

（1）單調遞增區間為，單調遞減區間為；（2）證明過程詳見解析；（3）證明過程詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）求導數，討論真數與1的大小來判斷的正負；（2）利用函數的單調性證明大小關系；（3）利用柯西不等式列出不等式，兩邊取冪，兩邊去倒數，利用不等式的性質證明.

試題解析：（Ⅰ）由，有，     1分

當，即時，單調遞增；

當，即時， 單調遞減；

所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為．      3分

（Ⅱ）設（），則，5分

由（Ⅰ）知在單調遞減，且，

∴在恒成立，故在單調遞減，

又，∴，得，

∴，即：．8分

（Ⅲ）由，及柯西不等式：

，                            

所以，

.      11分

又，由（Ⅱ）可知，

即，即.

則.

故.  14分

考點：1.用導數判斷函數的單調性；2.利用函數的單調性比較大��；3.柯西不等式.