Question

（本題滿分14分）如圖, 在直三棱柱中，，,
，點是的中點．

⑴求證：；
⑵求證：平面；
⑶求二面角的正切值．

Answer 1

⑴見解析；⑵見解析；⑶

本試題主要考查了立體幾何中的線線垂直的證明，以及線面平行的判定和二面角的平面角的求解的綜合運用。
（1）由于已知中三棱柱的性質和三角形可知，得到結論。
（2）利用線線平行來判定得到線面平行的證明。
（3）由于二面角的平面角可以建立空間直角坐標系，求解平面的法向量來表示夾角得到二面角 平面角的求解。
證明：⑴、在直三棱柱，
∵底面三邊長，，，∴ ，………1分
又直三棱柱中，，且,
，∴．……………3分
而，∴；…………………………4分
⑵、設與的交點為，連結，…5分
∵ 是的中點，是的中點，∴ ，………7分
∵ ，，∴.…8分
⑶、過點C作CF⊥AB于F，連接C₁F.…………9分
由已知C₁C垂直平面ABC，
則∠C₁FC為二面角的平面角。………11分
在Rt△ABC中，，,,則…………12分
又,∴ ，……………13分
∴二面角的正切值為．…………………………14分
（另：可以建立空間直角坐標系用向量方法完成，酌情給分，過程略）