Question

【題目】某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少10層，每層2000平方米的樓房．經測算，如果將樓房建為x（x≥10）層，則每平方米的平均建筑費用為560+48x（單位：元）．
（注：平均綜合費用=平均建筑費用+平均購地費用，平均購地費用= ）
（1）寫出樓房平均綜合費用y關于建造層數x的函數關系式；
（2）該樓房應建造多少層時，可使樓房每平方米的平均綜合費用最少？最少值是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：設樓房每平方米的平均綜合費為y元，依題意得

y=（560+48x）+ =560+48x+ （x≥10，x∈N*）；

（2）解：法一：∵x＞0，∴48x+ ≥2 =1440，

當且僅當48x= ，即x=15時取到“=”，

此時，平均綜合費用的最小值為560+1440=2000元．

答：當該樓房建造15層，可使樓房每平方米的平均綜合費用最少，最少值為2000元．

法二：先考慮函數y=560+48x+ （x≥10，x∈R）；

則y'=48﹣ ，令y'=0，即48﹣ =0，解得x=15，

當0＜x＜15時，y'＜0；當x＞15時，y'＞0，又15∈N*，

因此，當x=15時，y取得最小值，ymin=2000元．

答：當該樓房建造15層，可使樓房每平方米的平均綜合費用最少，最少值為2000元

【解析】（1）由已知得，樓房每平方米的平均綜合費為每平方米的平均建筑費用為560+48x與平均地皮費用的和，由已知中某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟x層，每層2000平方米的樓房，我們易得樓房平均綜合費用y關于建造層數x的函數關系式；（2）由（1）中的樓房平均綜合費用y關于建造層數x的函數關系式，要求樓房每平方米的平均綜合費用最小值，我們有兩種思路，一是利用基本不等式，二是使用導數法，分析函數的單調性，再求最小值．