Question

（本小題滿分16分）
已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，S_n=n²a_n（n∈N^*）.
（1）試求出S₁，S₂，S₃，S₄，并猜想S_n的表達式；                  
（2）用數學納法證明你的猜想，并求出a_n的表達式.                 

Answer 1

（1）S₁=a₁=1.S₂=，S₃==，S₄=，猜想S_n=（n∈N^*）. 
（2）見解析

本題主要考查了數列的遞推式．數列的遞推式是高考中常考的題型，涉及數列的通項公式，求和問題，數列與不等式的綜合等問題．
（1）先根據數列的前n項的和求得S₁，S₂，S₃，S₄，可知分母和分子分別是等差數列進而可猜想出Sn．
（2）利用a_n=S_n-S_n-1，整理出an的遞推式，進而用疊乘法求得a_n．
（1）解 ∵a_n=S_n-S_n-1（n≥2）
∴S_n=n²（S_n-S_n-1），∴S_n=S_n-1（n≥2）
∵a₁=1，∴S₁=a₁=1.
∴S₂=，S₃==，S₄=，                    ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
猜想S_n=（n∈N^*）.                      ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
（2）證明 ①當n=1時，S₁=1成立.
②假設n=k（k≥1,k∈N^*）時，等式成立，即S_k=，
當n=k+1時，
S_k+1=（k+1）²·a_k+1=a_k+1+S_k=a_k+1+，           
∴a_k+1=，
∴S_k+1=（k+1）²·a_k+1==，
∴n=k+1時等式也成立，得證.
∴根據①、②可知，對于任意n∈N^*，等式均成立.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分
又∵a_k+1=，∴a_n=.              ┄┄┄┄┄┄┄┄┄16分