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精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

已知f(x)是實數(shù)集R上的函數(shù)，且對任意x

R,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立.
(1)求證：f(x)是周期函數(shù).
(2)已知f(3)=2，求f(2 004).

（1）證明見解析（2）-2

（1）證明 ∵f(x)=f(x+1)+f(x-1),∴f(x+1)=f(x)-f(x-1),
則f(x+2)=f

∴f(x+3)=f

∴f(x+6)=f

∴f(x)是周期函數(shù)且6是它的一個周期.
(2)解 f(2 004)=f(334×6)=f(0)=-f(3)=-2.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本題滿分12分）某電信部門執(zhí)行的新的電話收費標(biāo)準(zhǔn)中，其中本地網(wǎng)營業(yè)區(qū)內(nèi)的通話費標(biāo)準(zhǔn)：前3分鐘為0.20元（不足3分鐘按3分鐘計算），以后的每分鐘收0.10元（不足1分鐘按1分鐘計算。）在一次實習(xí)作業(yè)中，某同學(xué)調(diào)查了A、B、C、D、E五人某天撥打的本地網(wǎng)營業(yè)區(qū)內(nèi)的電話通話時間情況，其原始數(shù)據(jù)如下表所示：

	A	B	C	D	E
第一次通話時間	3分	3分45秒	3分55秒	3分20秒	6分
第二次通話時間	0分	4分	3分40秒	4分50秒	0分
第三次通話時間	0分	0分	5分	2分	0分
應(yīng)繳話費（元）

⑴在上表中填寫出各人應(yīng)繳的話費；
⑵設(shè)通話時間為t分鐘，試根據(jù)上表完成下表的填寫（即這五人在這一天內(nèi)的通話情況統(tǒng)計表）：

時間段	頻數(shù)累計	頻數(shù)	頻率	累計頻率
0<t≤3	┯	2	0.2	0.2
3<t≤4
4<t≤5
5<t≤6
合計	正正

⑶若該本地網(wǎng)營業(yè)區(qū)原來執(zhí)行的電話收費標(biāo)準(zhǔn)是：每3分鐘為0.20元（不足3分鐘按3分鐘計算）。問這五人這天的實際平均通話費與原通話標(biāo)準(zhǔn)下算出的平均通話費相比，是增多了還是減少了？增或減了多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分16分）定義在R上的函數(shù)

，

，當(dāng)

時，

，且
對任意的∈R，有

.
（1）求證：

；
（2）求證：

是R上的增函數(shù)；
（3）若

，求

的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)

滿足

；
（1）求常數(shù)k的值；（2）若

恒成立，求a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

定義在區(qū)間(－∞,+∞)的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)，偶函數(shù)g(x)在區(qū)間［0，+∞)的圖像與f(x)的圖像重合，設(shè)a>b>0,給出下列不等式:
①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b) 　　②f(b)－f(－a)<g(a)－g(－b)
③f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a) 　　④f(a)－f(－b)<g(b)－g(－a)
其中成立的是( )

A．①與④

B．②與③

C．①與③

D．②與④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

具有性質(zhì)“對任意x，y∈R，滿足f（x+y）=f（x）+f（y）”的函數(shù)f（x）是（　　）

A．f（x）=πx

B．f（x）=log_0.6x

C．f（x）=5^x

D．f（x）=cosx

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知定義域是（0，+∞）的函數(shù)f（x）滿足；
（1）對任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立；
（2）當(dāng)x∈（1，3]時，f（x）=3-x．給出下列結(jié)論：
①對任意m∈Z，有f（3^m）=0；
②函數(shù)f（x）的值域為[0，+∞）；
③存在n∈Z，使得f（3ⁿ+1）=0；
④“函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減”的充要條件是“?k∈Z，使得（a，b）⊆（3^k，3^k+1）．”
其中正確結(jié)論的序號是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知函數(shù)