Question

【題目】在直角坐標系中，已知橢圓：的離心率是，斜率不為0的直線：與相交于、兩點，與軸相交于點.

（1）若、分別是的左、右焦點，當經過且時，求的值；

（2）試探究，是否存在點，使得？若存在，請寫出滿足條件的、的關系式；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）可知滿足條件的點是存在的，且.

【解析】

（1）根據條件設，代入橢圓方程可求得，利用過點的斜率公式，計算可得的值；

（2）先通過離心率是，將用表示出來，這樣橢圓方程可整理為，將其和直線聯立，根據，易得，設，，利用根與系數關系，代入計算可得、的關系式.

（1）因為，所以設，

代入中解得，即，

而，所以.

（2）當時，、兩點在橢圓的同側，易知，故，

因為且，故，，

設橢圓為，，，

聯立方程組，化簡得，

所以，，

又，，根據，易得，

于是，故，即，

故，化得，

化簡得，

因為，所以上式化簡得，，

綜上，可知滿足條件的點是存在的，且.