Question

【題目】已知是定義在[-1，1]上的奇函數且，若ab∈[-1，1]，a+b≠0，有成立.

（1）判斷函數在[-1，1]上是增函數還是減函數，并加以證明.

（2）解不等式.

（3）若對所有， 恒成立，求實數m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）是增函數，證明見解析;（2） ;（3）

【解析】

（1）要證明在上的單調性，應考慮定義，設出上的兩個變量，作差并根據對其變形，判斷出它的符號，即得其單調性；

（2）在（1）證明其單調性的基礎上，結合其定義域和奇偶性，把不等式轉化為關于的不等式組求解；

（3）若對所有， 恒成立，則，對恒成立，進而構造函數，可得：，解得實數的取值范圍．

（1）任取，且，則，

又∵為奇函數，

∴，

由已知得，，

∴，即.

∴在上單調遞增.

（2）∵在上單調遞增，

∴，∴，

∴不等式的解集為.

（3）因為在[﹣1，1]上是增函數，

所以，即1是的最大值．

若對所有恒成立，

則有，對恒成立，

即恒成立．

令，它的圖象是一條線段，

那么，

解得：．