Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像如圖所示，試做如下操作，把軸上的區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間，在每一個(gè)小區(qū)間上作一個(gè)小矩形，使矩形的右端點(diǎn)落在函數(shù)的圖像上.若用，表示第個(gè)矩形的面積，表示這個(gè)矩形的面積總和.

（Ⅰ）求的表達(dá)式；

（Ⅱ）請(qǐng)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：；

（Ⅲ）求的值，并說明的幾何意義.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）證明見解析（Ⅲ），的幾何意義表示函數(shù)的圖象與軸，及直線和所圍曲線梯形的面積.

【解析】

（1）第個(gè)矩形的高為，然后直接求出第個(gè)矩形的面積；

（2）當(dāng)時(shí)，命題成立，假設(shè)時(shí)命題成立，證得時(shí)命題成立，即可得到結(jié)論；

（3）求得，求出極限，然后說明極限的幾何意義.

（Ⅰ）由題意第個(gè)矩形的高是，所以

（Ⅱ）（i）當(dāng)時(shí)，，命題成立，

（ii）假設(shè)時(shí)命題成立，即，

則時(shí)，

，

∴時(shí)命題成立，

綜上，時(shí)，命題成真，即，

（Ⅲ）由（1）可求得

，

則，

所以的幾何意義表示函數(shù)的圖象與軸，及直線和所圍曲線梯形的面積為.