Question

（本小題滿分12分）
已知平面向量a=，b=
（1）證明ab；
（2）若存在實數k，t，使x=a+b，y=-ka+tb，且xy，試求k，t的函數關系式;
（3）根據（2）的結論，討論關于t的方程的解的情況。

Answer 1

（1）  略
（2）  k=
（3）
時，直線k=m與曲線僅有一個交點，則方程有一解；
當時，直線k=m與曲線有兩個交點，則方程有兩解；
當時，直線k=m與曲線有三個交點，則方程有三個解。

解（1）a·b=0，ab。
（2）xy， x·y=0，即〔a+b〕·(—ka+tb)=0
整理得-ka²+〔t­-k〕a·b+tb²=0
 a·b=0，a²=4，b²=1。上式化為-4k+ t =0，k=
(3)討論方程的解得情況，可以看做曲線與直線k=m的交點個數。
于是。
令，解得，當變化時，、的變化情況如下表：

				１
		0	－	０	＋

當時，有極大值，極大值為。
當時，有極小值，極小值為。
而時，得。 所以的圖像大致如圖所示

于是時，直線k=m與曲線僅有一個交點，則方程有一解；
當時，直線k=m與曲線有兩個交點，則方程有兩解；
當時，直線k=m與曲線有三個交點，則方程有三個解。