Question

(本小題滿分14分)如圖，在長方體中，，，點在棱上移動．

⑴ 證明：//平面；
⑵證明：⊥；
⑶ 當為的中點時，求四棱錐的體積.

Answer 1

(1)證明：見解析；(2) 證明：見解析；(3) E-ACD₁的體積為．

試題分析：（1）利用線線平行的來證明線面平行。
（2）由AE⊥平面AA₁DD₁，A₁D?平面AA₁DD₁，知A₁D⊥AE，再由AA₁DD₁為正方形，利用直線與平面垂直的性質，能夠證明A₁D⊥D₁E．
（3） 設點E到面ACD₁的距離為h，在△ACD₁中，AC=CD₁=，AD₁=，先求出△AD₁C和△ACE的面積，再求出三棱錐D₁-AEC的體積，由此能夠求出點E到面ACD₁的距離．進而得到體積。
(1)證明：∵ ABCD-A₁B₁C₁D₁是長方體
∴AB// D₁C₁，AB=D₁C₁，   ……1分
∴AB C₁ D₁為平行四邊形，……2分
∴B C₁ // AD₁，         ……3分
又B C₁平面ACD₁，AD₁Ì平面ACD₁， ……4分
所以BC₁//平面ACD₁.   ……5分
(2) 證明：∵ AE⊥平面AA₁D₁D，A₁DÌ平面AA₁D₁D，
∴ A₁D⊥AE，                         ……6分
AA₁D₁D為正方形，∴A₁D⊥A D₁，                                 ……7分
又A₁D∩AE =A，∴A₁D⊥平面AD₁E，                               ……9分
A₁DÌ平面AD₁E，∴A₁D⊥D₁E，                                   ……10分
(3) 解：，      ……12分
                          ……13分
所以E-ACD₁的體積為．                                 ……14分
點評：解決該試題的關鍵是對于線面平行的判定定理和線面垂直的性質定理的靈活運用和熟練掌握，同時對于體積的求解，一般就是研究幾何體的高既可以得到。