Question

已知函數(shù)，，(其中)，設.
（Ⅰ）當時,試將表示成的函數(shù),并探究函數(shù)是否有極值；
（Ⅱ）當時，若存在，使成立，試求的范圍.

Answer 1

（Ⅰ）當時在定義域內(nèi)有且僅有一個極值，當時在定義域內(nèi)無極值;
（Ⅱ）或

試題分析：（Ⅰ）觀察與的特點，可得，，，即可得到函數(shù)，觀察此函數(shù)特征可想到對其求導得，由二次函數(shù)的圖象不難得出在上有解的條件，進而求出的范圍; （Ⅱ）由可得，又由可得，故可令函數(shù)的最大值為正，對函數(shù)求導令其為0得求出，由與，和與的大小關系對進行分類討論，并求出各自情況的最大值，由最大值大于零即可求出的范圍．
試題解析：（Ⅰ）∵,
,
∴ ∴      (3分)
設是的兩根，則，∴在定義域內(nèi)至多有一解,
欲使在定義域內(nèi)有極值，只需在內(nèi)有解，且的值在根的左右兩側(cè)異號，∴得               (6分)
綜上：當時在定義域內(nèi)有且僅有一個極值，當時在定義域內(nèi)無極值．
（Ⅱ）∵存在，使成立等價于的最大值大于0，
∵，∴,
∴得.
當時，得；
當時，得          (12分)
當時，不成立                (13分)
當時，得；
當時，得；
綜上得：或              (16分)