Question

如圖，在中，∠是直角，，有一個(gè)橢圓以為一個(gè)焦點(diǎn)，

   另一個(gè)焦點(diǎn)Q在上，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)、.

（1）求橢圓的離心率；

（2）若以PQ所在直線為軸，線段PQ的垂直平分線為軸建立直角坐標(biāo)系，求橢圓的

    方程；

（3）在（2）的條件下，若經(jīng)過點(diǎn)Q的直線將的面積分為相等的兩部分，

    求直線的方程.

Answer 1

（1）因?yàn)闄E圓以為一個(gè)焦點(diǎn)，另一個(gè)焦點(diǎn)Q在AB上，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)A、B，所以由橢圓的定義知，

  因此，解得.

  于是橢圓的長軸長，焦距，

  故橢圓的離心率.

（2）依題意，可設(shè)橢圓方程為，

由（1）知，，∴，∴橢圓方程為.

（3）依題意，設(shè)直線的方程為，

設(shè)直線與PA相交于點(diǎn)C，則，故，從而.

設(shè)，由，得，解得.

設(shè)，由，得，解得.

∴，∴直線的方程為.