Question

【題目】如圖，在四棱錐P一ABCD中，已知，點Q為AC中點，底面ABCD,，點M為PC的中點.

（1）求直線PB與平面ADM所成角的正弦值；

（2）求二面角D-AM-C的正弦值；

（3）記棱PD的中點為N，若點Q在線段OP上，且平面ADM，求線段OQ的長.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

以O為原點，分別以向量的方向為x軸,y軸,z軸正方向，可以建立空間直角坐標(biāo)系，（1）求出直線PB的方向向量，利用向量垂直數(shù)量積為零列方程求出平面ADM的法向量，可求直線PB與平面ADM所成角的正弦值；（2）由已知可得平面，故是平面的一個法向量，結(jié)合（1）中平面ADM的法向量，利用空間向量夾角余弦公式可求二面角D-AM-C的余弦值，從而可得正弦值；（3）設(shè)線段OQ的長為，則點Q的坐標(biāo)為，由已知可得點N的坐標(biāo)為，利用直線與平面的法向量數(shù)量積為零列方程求解即可.

依題意，以O為原點，分別以向量的方向為x軸,y軸,z軸正方向，可以建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得，

.

（1）依題意，可得，

設(shè)為平面ADM的法向量，則，

即，不妨設(shè)，可得，

又， 故，

直線PB與平面ADM所成角的正弦值為；

（2）由已知可得，

所以平面，

故是平面的一個法向量，

依題意可得，

因此有，于是有，

二面角D-AM-C的正弦值；

（3）設(shè)線段OQ的長為，則點Q的坐標(biāo)為，

由已知可得點N的坐標(biāo)為，進而可得，

由平面ADM，故，

即，解得，

線段OQ的長為.