【題目】如圖，三棱柱
中，側面
底面
，
是邊長為2的正三角形，已知
點滿足
.
（1）求二面角
的大��；
（2）求異面直線
與
的距離；
（3）直線上是否存在點
，使
平面？若存在，請確定點的位置；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在點
，其坐標為
，即恰好為
點
【解析】
（1）建立空間直角坐標系，利用平面
的法向量和平面
的法向量，計算出二面角
的余弦值，由此求得其大小.
（2）求得異面直線
與
的公垂線的方向向量，并由此計算出異面直線
與的距離.
（3）根據
求得
點的坐標，設出點的坐標，根據
、
與平面的法向量垂直列方程組，解方程組求得點的坐標，由此判斷出存在點符合題意.
（1）
側面
底面，又
均為正三角形，取
得中點
，連接
，
，
則
底面，
故以為坐標原點，分別以
為
軸、
軸、
軸建立
如圖所示空間直角坐標系，
則
設平面的法向量為
取
，可得
又平面的一個法向量為
由圖知二面角為銳角，故二面角的大小為.
（2）異面直線與的公垂線的方向向量
，則
易得
，異面直線與的距離
（3）
，而
又
，
點的坐標為
假設存在點符合題意，則點的坐標可設為
平面
為平面的一個法向量，
由
，得
.
又
平面，
故存在點，使
平面，其坐標為，即恰好為點.
愉快的寒假南京出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，直線
：
（
為參數，
），曲線
：
（
為參數），與相切于點
，以坐標原點為極點，
軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.
（1）求的極坐標方程及點的極坐標；
（2）已知直線
：
與圓
：
交于
，
兩點，記
的面積為
，
的面積為
，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】大慶實驗中學在高二年級舉辦線上數學知識競賽，在已報名的400名學生中，根據文理學生人數比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數，將數據分成7組：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：
（1）估算一下本次參加考試的同學成績的中位數和眾數；
（2）已知樣本中分數小于40的學生有5人，試估計總體中分數在區間[40，50)內的人數；
（3）已知樣本中有一半理科生的分數不小于70，且樣本中分數不小于70的文理科生人數相等.試估計總體中理科生和文科生人數的比例.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】根據國家統計局數據，1978年至2018年我國GDP總量從0.37萬億元躍升至90萬億元，實際增長了242倍多，綜合國力大幅提升.
將年份1978，1988，1998，2008，2018分別用1，2，3，4，5代替，并表示為
；
表示全國GDP總量，表中
，
.
|
|
|
|
|
|
3 | 26.474 | 1.903 | 10 | 209.76 | 14.05 |
（1）根據數據及統計圖表，判斷
與
（其中
為自然對數的底數）哪一個更適宜作為全國GDP總量關于
的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由），并求出關于的回歸方程.
（2）使用參考數據，估計2020年的全國GDP總量.
線性回歸方程
中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：
，
.
參考數據：
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 55 | 148 | 403 | 1097 | 2981 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側棱B1B上，且
， 
.
求證：（1）直線DE
平面A1C1F；
（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
為圓
上的動點，點
在圓的半徑
上運動，點
在
上，且滿足
，其中
.
（1）求點的軌跡方程；
（2）設不過原點
的直線與點的軌跡交于
兩點，且點關于恒過定點
的直線
對稱.求
面積的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
是等比數列，有下列四個命題：①
是等比數列；②
是等比數列；③
是等比數列；④
是等比數列，其中正確命題的序號是( )
A.②④B.③④C.②③④D.①②③④
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