Question

已知函數(shù)f1(x)=

2x-1

x+1

，對于n∈N^*，定義f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，則f₂₀₁₁（x）=

2x-1

x+1

．

Answer 1

分析：函數(shù)對于n∈N^*，定義f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，故f₂（x）=f₁[f₁（x）]=f₁（

2x-1

x+1

）=

x-1

x

．f₃（x）=f₁（

x-1

x

）=

x-2

2x-1

，f₄（x）=f₁（

x-2

2x-1

）=

1

1-x

，f₅（x）=f₁（

1

1-x

）=

x+1

2-x

，f₆（x）=f₁（

x+1

2-x

）=x，f₇（x）=f₁（x）=

2x-1

x+1

．所以從f₁（x）到f₆（x），每6個一循環(huán)．由此能求出結(jié)果．

解答：解：∵函數(shù)對于n∈N^*，定義f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，
∴f₂（x）=f₁[f₁（x）]=f₁（

2x-1

x+1

）=

2• 2x-1 x+1 -1

2x-1 x+1 +1

=

x-1

x

．
f₃（x）=f₁[f₂（x）]=f₁（

x-1

x

）=

2• x-1 x -1

x-1 x +1

=

x-2

2x-1

，
f₄（x）=f₁[f₃（x）]=f₁（

x-2

2x-1

）=

2• x-2 2x-1 -1

x-2 2x-1 +1

=

1

1-x

，
f₅（x）=f₁[f₄（x）]=f₁（

1

1-x

）=

2• 1 1-x -1

1 1-x +1

=

x+1

2-x

，
f₆（x）=f₁[f₅（x）]=f₁（

x+1

2-x

）=

2• x+1 2-x -1

x+1 2-x +1

=x，
f₇（x）=f₁[f₆（x）]=f₁（x）=

2x-1

x+1

=f₁（x）．
所以從f₁（x）到f₆（x），每6個一循環(huán)．
∵2011=335×6+1，
∴f₂₀₁₁（x）=f1(x)=

2x-1

x+1

，
故答案為：

2x-1

x+1

．

點評：本題考查函數(shù)的周期性，是基礎(chǔ)題．解題時要認真審題，解題的關(guān)鍵是得到從f₁（x）到f₆（x），每6個一循環(huán)．