Question

18、某工廠生產甲、乙兩種產品，每種產品都是經過第一和第二工序加工而成，兩道工序的加工結果相互獨立，每道工序加工結果均有A，B兩個等級，對每種產品，兩道工序的加工結果都為A級時，產品為一等品，其余均為二等品．

（1）已知甲、乙兩種產品第一道工序的加工結果為A級的概率如表一所示，分別求生產出的甲、乙產品為一等級的概率P_甲，P_乙；
（2）現要求生產甲，乙兩種產品各100個和200個，求這批產品中甲，乙分別有多少個一等品；
（3）已知一件產品的利潤如表二所示，用ξ、η分別表示一件甲、乙產品的利潤，在（1）的條件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη．

Answer 1

分析：（1）每種產品都是經過第一和第二工序加工而成，兩道工序的加工結果相互獨立，應用相互獨立事件同時發生的概率公式可以得到
（2）由題意可知甲和乙一等品的個數服從二項分布，甲一等品個數N_甲～B（100，0.68），乙一等品個數N_乙～B（200，0.6），根據二項分布的期望公式得到要求的產品個數．
（3）由題意得到兩個變量的取值，做出對應事件的概率，寫出分布列，求出期望．

解答：解：（1）∵每種產品都是經過第一和第二工序加工而成，
兩道工序的加工結果相互獨立，
∴應用相互獨立事件同時發生的概率公式可以得到
P_甲=0.8×0.85=0.68，
P_乙=0.75×0.8=0.6．

（2）由題意可知甲和乙一等品的個數服從二項分布，
甲一等品個數N_甲～B（100，0.68），
乙一等品個數N_乙～B（200，0.6），
∴甲一等品個數N_甲=100×0.68=68個，
乙一等品個數N_乙=200×0.6=120．

（3）由題意知ξ的取值是2.5，5
η的取值是1.5，，2.5，
P（ξ=2.5）=0.32
P（ξ=5）=0.68
P（η=2.5）=0.6
P（η=1.5）=0.4
∴隨機變量ξ、η的分布列如下：

∴Eξ=5×0.68+2.5×0.32=4.2，
Eη=2.5×0.6+1.5×0.4=2.1

點評：考查運用概率知識解決實際問題的能力，相互獨立事件是指，兩事件發生的概率互不影響，而對立事件是指同一次試驗中，不會同時發生的事件，遇到求用至少來表述的事件的概率時，往往先求它的對立事件的概率．