Question

已知橢圓：的左焦點，若橢圓上存在一點，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段相切于線段的中點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知兩點及橢圓:,過點作斜率為的直線交橢圓于兩點,設線段的中點為,連結,試問當為何值時,直線過橢圓的頂點?
(Ⅲ) 過坐標原點的直線交橢圓:于、兩點，其中在第一象限，過作軸的垂線，垂足為，連結并延長交橢圓于，求證：

Answer 1

（Ⅰ）連接為坐標原點,為右焦點），由題意知：橢圓的右焦點為因為是的中位線，且,所以
所以，故…………2分
在中，
即,又,解得
所求橢圓的方程為．………………………4分
(Ⅱ) 由（Ⅰ）得橢圓:
設直線的方程為并代入
整理得:
由得:  ……………………5分
設
則由中點坐標公式得:…………………6分
①當時,有,直線顯然過橢圓的兩個頂點;………7分
②當時,則,直線的方程為
此時直線顯然不能過橢圓的兩個頂點;
若直線過橢圓的頂點,則即
所以,解得:(舍去)………………………8分
若直線過橢圓的頂點,則即
所以,解得:(舍去) ……………9分
綜上,當或或時, 直線過橢圓的頂點…………10分
（Ⅲ）法一：由（Ⅰ）得橢圓的方程為……………………………11分
根據題意可設，則
則直線的方程為…①
過點且與垂直的直線方程為…②
①②并整理得：
又在橢圓上，所以所以
即①、②兩直線的交點在橢圓上,所以．…………14分
法二：由（Ⅰ）得橢圓的方程為
根據題意可設，則，，
所以直線
，化簡得
所以
因為,所以,則……………12分
所以，則,即

略