Question

（本小題滿分12分）如圖，已知橢圓C：，經過橢圓C的右焦點F且斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓C于A、B兩點，M為線段AB的中點，設O為橢圓的中心，射線OM交橢圓于N點．（1）是否存在k，使對任意m>0，總有成立？若存在，求出所有k的值；

       （2）若，求實數k的取值范圍．

Answer 1

(Ⅰ) k＝±1   (Ⅱ)   且k≠0．

解析:

（1）橢圓C：

直線AB：y＝k（x－m）,                 

，（10k²＋6）x²－20k²mx＋10k²m²－15m²＝0．  

設A（x₁, y₁）、B（x₂,y₂）,則x₁＋x₂＝，x₁x₂＝

則x_m＝                      

若存在k,使為ON的中點，∴．

∴，

即N點坐標為．                           

由N點在橢圓上，則           

即5k⁴－2k²－3＝0．∴k²＝1或k²＝－（舍）．

故存在k＝±1使    

（2）＝x₁x₂＋k²（x₁－m）（x₂－m）

＝（1＋k²）x₁x₂－k²m（x₁＋x₂）＋k₂m²

＝（1＋k²）·            

由得        

即k²－15≤－20k²－12,  k²≤且k≠0．