Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）若在上恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）先求出與，再利用點斜式即可得到答案.

（2）函數(shù)在上恒成立，等價于函數(shù)的最小值大于或等于0，在求的最小值時需分，兩種情況討論即可.

解：（Ⅰ）當時，，

因為，

所以.

所以曲線在點處的切線方程為．

（2）函數(shù)在上恒成立，等價于函數(shù)的最小值大于或等于0.

，

因為所以， .

①當時，顯然，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當時，有最小值，

顯然，所以符合條件.

②當時，令，解得，

若即時，

當時，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當時，有最小值，

當時，顯然.

函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當時，有最小值，

依題意有，所以符合條件.

若即時，顯然，不符合.

綜上，若函數(shù)在上恒成立，則.