Question

已知下列四個命題：
①若函數y=f（x）在x_°處的導數f'（x_°）=0，則它在x=x_°處有極值；
②不論m為何值，直線y=mx+1均與曲線

x2

4

+

y2

b2

=1有公共點，則b≥1；
③設直線l₁、l₂的傾斜角分別為α、β，且1+tanβ-tanα+tanαtanβ=0，則l₁和l₂的夾角為45°；
④若命題“存在x∈R，使得|x-a|+|x+1|≤2”是假命題，則|a+1|＞2；
以上四個命題正確的是

 

（填入相應序號）．

Answer 1

分析：導函數在某一點等于0，是函數在這一點有極值的必要條件，而不是充要條件，當直線過封閉曲線的內部一點時，不管直線的斜率是多少，直線都與曲線有交點，把所給的等式變形得到夾角的正切值，根據絕對值的幾何意義得到結果．

解答：解：導函數在某一點等于0，是函數在這一點有極值的必要條件，
而不是充要條件，故①不正確，
∵直線y=mx+1恒過定點（0，1）
∴當點（0，1）在橢圓的內部時，直線與曲線一定有公共點，
要使點（0，1）在橢圓的內部，只有b≥1，故②正確，
根據兩條直線的夾角公式和1+tanβ-tanα+tanαtanβ=0，
知tan（α-β）=1，得到夾角是45°，故③正確
命題“存在x∈R，使得|x-a|+|x+1|≤2”是假命題，
則存在x∈R，使得|x-a|+|x+1|＞2是一個真命題，
∴由絕對值的幾何意義知|a+1|＞2，故④正確，
綜上可知②③④正確，
故答案為：②③④

點評：本題考查的知識點比較多，是一個綜合題目，這種題目需要逐個驗算是否正確，若有一個判斷失誤，則整個題目都出錯，這是出錯率比較高的一種填空題．