Question

（本題滿分15分）
把正整數按從小到大順序排列成下列數表，數表中第行共有個正整數：

設是位于數表中從上往下數第行、從左往右數第個數
（1）若，求的值；
（2）記，求數列的通項公式；
（3）猜想與的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

（1） 
（2）              
（3）猜想：當時，；當時，    
證明：（法一）二項式定理的應用                       
（法二）數學歸納法

第一問，利用已知的數字可知到第行共有個數
時，
時，
所以，
第二問中，
，累加法得到
第三問中，
時，
時，
時，
時，
猜想：當時，；當時，并用數學歸納法得證。
解:（1）到第行共有個數
時，
時，
所以，               （3分）
（2）

由疊加可得                 （3分）
（3）
時，
時，
時，
時，
猜想：當時，；當時，      （3分）
證明：（法一）二項式定理的應用                       （6分）
（法二）數學歸納法