Question

如圖的倒三角形數陣滿足：⑴第1行的個數，分別是1，3，5，…，；⑵ 從第二行起，各行
中的每一個數都等于它肩上的兩數之和；⑶數陣共有行．問：當時，第32行的第17個數是             ；

Answer 1

解：設第k行的第一個數為ak，
則a₁=1，
a₂=4=2a₁+2，
a₃=12=2a₂+2²，
a₄=32=2a₃+2³，
…
由以上歸納，得a_k=2a_k-1+2k-1（k≥2，且k∈N*），
∴a_k2^k ="a" _k-12^k-1 + ，
∴數列{  }是以 為首項，以為公差的等差數列，
∴=1+(n-1)× ，
∴an=n•2^n-1（n∈N*）．
由數陣的排布規律可知，每行的數（倒數兩行另行考慮）都成等差數列，
且公差依次為：2，22，…，2k，…
第n行的首項為an=n•2^n-1（n∈N*），公差為2ⁿ，
∴第32行的首項為a³²=32•2³¹=2³⁶，公差為2³²，
∴第32行的第17個數是2³⁶+16×232=2³⁷．
故答案為：2³⁷．