Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，證明：不等式恒成立（其中，）.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為證明 恒成立．設(shè)，則上式等價(jià)于，要證明對(duì)任意，恒成立，要證明g（x1+x2）＞g（x1-x2）對(duì)任意x1∈R，x2∈（0，+∞）恒成立，即證明在上單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

詳解：

（1）由于.

1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，遞增，

當(dāng)時(shí)，，遞減；

2）當(dāng)時(shí)，由得或.

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，遞增，

當(dāng)時(shí)，，遞減，

當(dāng)時(shí)，，遞增；

當(dāng)時(shí)，，遞增；

③當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，，遞增，

當(dāng)時(shí)，，遞減，

當(dāng)時(shí)，，遞增.

綜上，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，在，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，在，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).

（2）依題意 恒成立.

設(shè)，則上式等價(jià)于，

要證明對(duì)任意，恒成立，

即證明在上單調(diào)遞增，又，

只需證明即可.令，則，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

∴，即，，那么，當(dāng)時(shí)，，所以 ；當(dāng)時(shí)，， ，

∴恒成立.從而原不等式成立.