Question

已知f（x）=x²+bx+c為偶函數，曲線y=f（x）過點（2，5），g（x）=（x+a）f（x）．
（Ⅰ）若當x=-1時函數y=g（x）取得極值，確定y=g（x）的單調區間
（Ⅱ）若曲線y=g（x）有斜率為0的切線，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用偶函數的定義列出恒成立的等式，求出b的值；將點（2，5）代入y=f（x）求出c的值；求出g（x）的導函數，令導函數在x=1處的值為0，求出a的值；令g（x）的導函數大于0得到g（x）的單調遞增區間，令導函數小于0得到g（x）的單調遞減區間．
（II）求出g（x）的導函數，令導函數等于0有實根，令方程的判別式大于等于0求出a的范圍．

解答：解：（I）∵f（x）=x²+bx+c為偶函數，
故f（-x）=f（x）
即有（-x）²+b（-x）+c=x²+bx+c
解得b=0
又曲線y=f（x）過點（2，5），得2²+c=5，
有c=1
∵g（x）=（x+a）f（x）=x³+ax²+x+a
從而g′（x）=3x²+2ax+1，
因x=-1時函數y=g（x）取得極值，
故有g′（-1）=0即3-2a+1=0，
解得a=2
又g′（x）=3x²+4x+1=（3x+1）（x+1）
令g′（x）=0，得x1=-1，x2=-

1

3

當x∈（-∞，-1）時，g′（x）＞0，故g（x）在（-∞，-1）上為增函數
當x∈(-1，-

1

3

)時，g′（x）＜0，故g（x）在(-1，-

1

3

)上為減函數
當x∈(-

1

3

，+∞)時，g′（x）＞0，故g（x）在(-

1

3

，+∞)上為增函數
（Ⅱ）∵曲線y=g（x）有斜率為0的切線，
故有g′（x）=0有實數解．
即3x²+2ax+1=0有實數解．
此時有△=4a²-12≥0
解得a∈(-∞，-

3

]∪[

3

，+∞)
所以實數a的取值范圍：a∈(-∞，-

3

]∪[

3

，+∞)

點評：解決函數的奇偶性問題，一般利用奇函數、偶函數的定義找關系；注意具有奇偶性的函數的定義域關于原點對稱；利用導數判斷函數的單調性：導函數大于0則函數遞增；導函數小于0則函數遞減．