Question

已知f（x）=x²+（a+1）x+lg|a+2|（a≠-2，a∈R），
（Ⅰ）若f（x）能表示成一個奇函數g（x）和一個偶函數h（x）的和，求g（x）和h（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）和g（x）在區間（-∞，（a+1）²]上都是減函數，求a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，比較f(1)和

1

6

的大小．

Answer 1

分析：（I）根據題意可知f（x）=g（x）+h（x），再根據奇偶性求出f（-x），從而建立方程組，解之即可求出g（x）和h（x）的解析式；
（Ⅱ）先對函數f（x）進行配方求出對稱軸，利用f（x）在區間（-∞，（a+1）²]上是減函數，建立關系式可求出a的范圍，然后根據函數g（x）=（a+1）x是區間（-∞，（a+1）²]上減函數，建立關系求出a的范圍，從而可得結論；
（Ⅲ）表示出f（1），確定相應函數的單調性，可得結論．

解答：解：（I）∵f（x）=g（x）+h（x），g（-x）=-g（x），h（-x）=h（x）
∴f（-x）=-g（x）+h（x）
∴g（x）+h（x）=x²+（a+1）x+lg|a+2|，-g（x）+h（x）=x²-（a+1）x+lg|a+2|，
∴g（x）=（a+1）x，h（x）=x²+lg|a+2|；
（Ⅱ）由函數g（x）=（a+1）x在（-∞，（a+1）²]上是減函數，得a+1＜0，∴a＜-1且a≠-2
函數f（x）=x²+（a+1）x+lg|a+2|=（x+

a+1

2

）2-

(a+1)2

4

+lg|a+2|在區間（-∞，（a+1）²]上是減函數，
∴（a+1）2≤-

a+1

2

，解得-

3

2

≤a≤-1
∵f（x）和g（x）在區間（-∞，（a+1）²]上都是減函數，
∴-

3

2

≤a＜-1；
（Ⅲ）f（1）=1+（a+1）+lg|a+2|=a+2+lg|a+2|（-

3

2

≤a＜-1）
F（a）=a+2+lg|a+2|在[-

3

2

，-1）上是增函數
∴f（1）≥=-

3

2

+2+lg|-

3

2

+2|=

1

2

+lg

1

2

＞

1

6

．

點評：本題考查函數單調性與奇偶性的結合，考查函數的單調性，考查大小比較，正確運用函數的單調性是關鍵．