Question

定義域為R的函數f（x）=

lg|x-2|，x≠2 1，x=2

，若關于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0恰有5個不同的實數解x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，則f（x₁+x₂+x₂+x₄+x₅）等于 （　　）

• A、0
• B、21g2
• C、31g2
• D、1

Answer 1

分析：分情況討論，當x=2時，f（x）=1，則由f²（x）+bf（x）+c=0得1+b+c=0，求出x₁=1；當x＞2時，f（x）=lg（x-2），由f²（x）+bf（x）+c=0得[lg（x-2）]²+blg（x-2）-b-1=0，解得lg（x-2）=1，或lg（x-2）=b，從而求出x₂和x₃；當x＜2時，f（x）=lg（2-x），由f²（x）+bf（x）+c=0得[lg（2-x）]²+blg（2-x）-b-1=0），解得lg（2-x）=1，或lg（2-x）=b，從而求出x₄和x₅，5個不同的實數解x₁、x₂、x₃、x₄、x₅都求出來后，就能求出f（x₁+x₂+x₃+x₄+x₅）的值．

解答：解：當x=2時，f（x）=1，則由f²（x）+bf（x）+c=0得1+b+c=0．∴x₁=2，c=-b-1．
當x＞2時，f（x）=lg（x-2），由f²（x）+bf（x）+c=0得[lg（x-2）]²+blg（x-2）-b-1=0，解得lg（x-2）=1，x₂=12或lg（x-2）=b，x₃=2+10^b．
當x＜2時，f（x）=lg（2-x），由f²（x）+bf（x）+c=0得[lg（2-x）]²+blg（2-x）-b-1=0），解得lg（2-x）=1，x₄=-8或lg（2-x）=b，x₅=2-10^b．
∴f（x₁+x₂+x₃+x₄+x₅）=f（2+12+2+10^b-8+2-10^b）=f（10）=lg|10-2|=lg8=3lg2．
故選C．

點評：這是一道比較難的對數函數綜合題，解題時按照題設條件分別根據a=0、a＞0和a＜0三種情況求出關于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0的5個不同的實數解x₁、x₂、x₃、x₄、x₅，然后再求出f（x₁+x₂+x₃+x₄+x₅）的值．