Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）當時，求函數在區間上的最小值；

（Ⅱ）當時，求證：過點恰有2條直線與曲線相切．

Answer 1

【答案】（I）.（Ⅱ）見解析.

【解析】

（I）對f（x）求導，判斷f′（x）的符號得出f（x）的單調性，根據單調性得出f（x）的最小值；（II）設過P的切線的切點為（x0，y0），根據導數的幾何意義列出方程組，得出關于x0的方程，利用函數單調性證明此方程恰好有兩解即可．

（Ⅰ）當a＝3時，f（x）＝x3﹣3x2，f'（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2）．

當x∈[0，2]時，f'（x）≤0，

所以f（x）在區間[0，2]上單調遞減．

所以f（x）在區間[0，2]上的最小值為f（2）＝﹣4．

（Ⅱ）設過點P（1，f（1））的曲線y＝f（x）的切線切點為（x0，y0），f'（x）＝3x2﹣2ax，f（1）＝1﹣a，

所以

所以．

令g（x）＝2x3﹣（a+3）x2+2ax+1﹣a，

則g'（x）＝6x2﹣2（a+3）x+2a＝（x﹣1）（6x﹣2a），

令g'（x）＝0得x＝1或，

因為a＞3，所以．

x	（﹣∞，1）	1
g′（x）	+	0	﹣	0	+
g（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴g（x）的極大值為g（1）＝0，g（x）的極小值為，

所以g（x）在上有且只有一個零點x＝1．

因為g（a）＝2a3﹣（a+3）a2+2a2+1﹣a＝（a﹣1）2（a+1）＞0，

所以g（x）在上有且只有一個零點．

所以g（x）在R上有且只有兩個零點．

即方程有且只有兩個不相等實根，

所以過點P（1，f（1））恰有2條直線與曲線y＝f（x）相切．