Question

已知a＞0，b＞0，a+b=1．求證：
（1）

1

a

+

1

b

+

1

ab

≥8；              
（2）

a+ 1 2

+

b+ 1 2

≤2．

Answer 1

分析：（1）因為1=a+b≥2

ab

，所以ab≤

1

4

，從而可得結論；
（2）先證明

(a+ 1 2 )(b+ 1 2 )

≤1，再證明（

a+ 1 2

+

b+ 1 2

）²≤4，即可得到結論．

解答：證明：（1）因為1=a+b≥2

ab

，所以ab≤

1

4

，所以

1

a

+

1

b

+

1

ab

=

2

ab

≥8
所以

1

a

+

1

b

+

1

ab

≥8；
（2）因為1=a+b≥2

ab

，所以ab≤

1

4

，所以

1

2

（a+b）+ab+

1

4

≤1，
所以

(a+ 1 2 )(b+ 1 2 )

≤1，從而有2+2

(a+ 1 2 )(b+ 1 2 )

≤4，
即：（a+

1

2

）+（b+

1

2

）+2

(a+ 1 2 )(b+ 1 2 )

≤4，即：（

a+ 1 2

+

b+ 1 2

）²≤4，所以原不等式成立．

點評：本題考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．