Question

【題目】給定數列，若數列中任意（不同）兩項之和仍是該數列中的一項，則稱該數列是“封閉數列”.

（1）已知數列的通項公式為，試判斷是否為封閉數列，并說明理由；

（2）已知數列滿足且，設是該數列的前項和，試問：是否存在這樣的“封閉數列”，使得對任意都有，且，若存在，求數列的首項的所有取值；若不存在，說明理由；

（3）證明等差數列成為“封閉數列”的充要條件是：存在整數，使．

Answer 1

【答案】（1）不是；見解析（2）或；（3）證明見解析

【解析】

（1）數列不為封閉數列．由，2時，，可得，，可得，即可得出結論．

（2）數列滿足且，可得數列為等差數列，公差為2．．又是“封閉數列”，得：對任意，，必存在使，得，故是偶數，又由已知，，故，可得．

（3）要證明充分必要條件的問題，本題需要從兩個方面來證明，一是證明充分性，二是證明必要性，證明時注意所取得數列的項來驗證時，項要具有一般性．

解：（1）數列不為封閉數列．

∵，2時，，，

可得，，∴，因此不是封閉數列．

（2）數列滿足且，

∴數列是以2為公差的等差數列，則．

又是“封閉數列”，

∴對任意，，必存在使，

得，故是偶數，

又由已知，，故，可得：，

可得或或，

經過驗證可得：或．

（3）證明：（必要性）若存在整數，使，則任取等差數列的兩項，，

于是，

由于，，為正整數，，

是封閉數列．

（充分性）任取等差數列的兩項，，若存在使，

則，

故存在，使，

下面證明．

當時，顯然成立．

對，若，則取，對不同的兩項和，存在使，

即，這與，矛盾，

故存在整數，使．