Question

【題目】已知函數，若在定義域內存在，使得成立，則稱為函數的局部對稱點．

（1）若，證明：函數必有局部對稱點；

（2）若函數在區間內有局部對稱點，求實數的取值范圍；

（3）若函數在上有局部對稱點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

試題分析：(1)利用題中所給的定義，通過二次函數的判別式大于0，證明二次函數有局部對稱點；(2)利用方程有解，通過換元，轉化為打鉤函數有解問題，利用函數的圖象，確定實數c的取值范圍；(3)利用方程有解，通過換元，轉化為二次函數在給定區間有解，建立不等式組，通過解不等式組，求得實數的取值范圍.

試題解析：(1)由得=,代入得,

=,得到關于的方程=).

其中,由于且,所以恒成立,

所以函數=)必有局部對稱點.

(2)方程=在區間上有解,于是,

設),,,

其中，所以.

(3),由于,

所以=.

于是=(*)在上有解.

令),則,

所以方程(*)變為=在區間內有解,

需滿足條件:.

即,，化簡得.