Question

已知函數f（x）=x²-（2a-1）x+a²-2，g（x）=-3^x-2，
（1）若f（x）在區間（3，+∞）上單調遞增，求a的取值范圍；
（2）若f（x）與非負x軸至少有一個交點，求a的取值范圍；
（3）當a=

1

4

時，判斷f（x）與g（x）的交點個數并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得有-

-(2a-1)

2

≤3，由此解得 a的取值范圍．
（2）當f（x）=x²-（2a-1）x+a²-2 與非負x軸沒有交點時，求得a的取值范圍，再取補集，即得所求的a的取值范圍．
（3）當a=

1

4

時，求得f（x）的值域為[-2，+∞），而函數g（x）=-3^x-2 的值域為 （-∞，-2），故函數f（x）的圖象和函數g（x）的圖象無交點．

解答：解：（1）∵函數f（x）=x²-（2a-1）x+a²-2，若f（x）在區間（3，+∞）上單調遞增，則有-

-(2a-1)

2

≤3，解得 a≤

5

2

，
故a的取值范圍為（-∞，

5

2

]．
（2）當f（x）=x²-（2a-1）x+a²-2 與非負x軸沒有交點時，
則△＜0，或

f(0)＞0 - -(2a-1) 2 ＜0

，解得a＜-

2

或a＞

9

4

，故當f（x）與非負x軸至少有一個交點時，應有 -

2

≤a≤

9

4

，
故a的取值范圍為[-

2

，

9

4

]．
（3）當a=

1

4

時，f（x）=x²+

1

2

x-

31

6

=(x+

1

4

)2- 2，故f（x）的值域為[-2，+∞）．
而函數g（x）=-3^x-2 的值域為 （-∞，-2），故函數f（x）的圖象和函數g（x）的圖象無交點．

點評：本題主要考查二次函數的性質應用，方程根的存在性及個數判斷，屬于基礎題．