Question

（2006•黃浦區(qū)二模）已知拋物線pa：y=x2+ax+a-2（a為實(shí)常數(shù)）．
（1）求所有拋物線p_a的公共點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)實(shí)數(shù)a取遍一切實(shí)數(shù)時，求拋物線p_a的焦點(diǎn)方程．
【理】（3）是否存在一條以y軸為對稱軸，且過點(diǎn)（-1，-1）的開口向下的拋物線，使它與某個p_a只有一個公共點(diǎn)？若存在，求出所有這樣的a；若不存在，說明理由．
【文】（3）是否存在直線y=kx+b（k，b為實(shí)常數(shù)），使它與所有的拋物線p_a都有公共點(diǎn)？若存在，求出所有這樣的直線；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a取不同實(shí)數(shù)時，y=x²+ax+a-2，y=x²+bx+b-2，整理可得（a-b）x=b-a，從而可求
（2）由y=x²+ax+a-2可得，y=(x+

a

2

)2-(

a2

4

+2-a)，從而可得拋物線的焦點(diǎn)為：（

a

2

，

9+a2-4a

4

）
（3）例如可設(shè)拋物線方程為x²=-2py（p＞0）
由拋物線過點(diǎn)（-1，-1）可得p=

1

2

，此時拋物線方程為x²=-y，聯(lián)立方程

x2=-y y=x2+ax+a-2

整理可得2x²+ax+（a-2）=0課檢驗(yàn)
（4）由于P_a：y=x²+ax+a-2恒過定點(diǎn)（-1，-1），則只要直線y=kx+b過定點(diǎn)（-1，-1）即可

解答：解：（1）當(dāng)a取不同實(shí)數(shù)時，y=x²+ax+a-2，y=x²+bx+b-2
可得x²+ax+a-2=x²+bx+b-2
∴（a-b）x=b-a，x=-1代入可得，y=-1
當(dāng)a取不同實(shí)數(shù)時，所有拋物線p_a的公共點(diǎn)坐標(biāo)（-1，-1）
（2）由y=x²+ax+a-2可得，y=(x+

a

2

)2-(

a2

4

+2-a)
∴拋物線的焦點(diǎn)為：（

a

2

，

9+a2-4a

4

）
（3）在滿足條件的拋物線例如可設(shè)拋物線方程為x²=-2py（p＞0）
由拋物線過點(diǎn)（-1，-1）可得p=

1

2

，此時拋物線方程為x²=-y
聯(lián)立方程

x2=-y y=x2+ax+a-2

整理可得2x²+ax+（a-2）=0
若a=4時，此時△=a²-8a+16=（a-4）²=0
即x²=-y與P₄：y=x²+4x+2只有一個公共點(diǎn)
（4）由于P_a：y=x²+ax+a-2恒過定點(diǎn)（-1，-1）
則只要直線y=kx+b過定點(diǎn)（-1，-1）即可
此時b=k-1，y=kx+k-1即y+1=k（x+1）滿足條件
故存在這樣的直線

點(diǎn)評：本題主要考查了由拋物線的方程求解拋物線的性質(zhì)及直線與拋物線的位置關(guān)系的考查，直線方程的應(yīng)用，屬于綜合性試題