Question

【題目】過拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為﹣4．
（1）求拋物線C的方程；
（2）已知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，0），若過D和B兩點(diǎn)的直線交拋物線C的準(zhǔn)線于P點(diǎn)，求證：直線AP與x軸交于一定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

設(shè)直線AB的方程為x=my+

與拋物線的方程聯(lián)立 ，得y2﹣2mpy﹣p2=0，

∴y1y2=﹣p2=﹣4，

解得p=±2，

∵p＞0，

∴p=2

（2）解：依題意，直線BD與x軸不垂直，∴x2=4．

∴直線BD的方程可表示為，y= （x﹣4）①

∵拋物線C的準(zhǔn)線方程為，x=﹣1②

由①，②聯(lián)立方程組可求得P的坐標(biāo)為（﹣1，﹣ ）

由（1）可得y1y2=﹣4，

∴P的坐標(biāo)可化為（﹣1， ），

∴kAP= = ，

∴直線AP的方程為y﹣y1= （x﹣x1），

令y=0，可得x=x1﹣ = ﹣ =

∴直線AP與x軸交于定點(diǎn)（ ，0）．

【解析】（1）設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），設(shè)直線AB的方程為x=my+ ，聯(lián)立方程組，根據(jù)A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為﹣4，即可求出p的值，（2）表示出直線BD的方程可表示為，y= （x﹣4）①，拋物線C的準(zhǔn)線方程為，x=﹣1②，構(gòu)成方程組，解得P的坐標(biāo)，求出直線AP的斜率，得到直線AP的方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可．