Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為、，是橢圓上一動點（與左、右頂點不重合）.已知的面積的最大值為，橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過的直線交橢圓于、兩點，過作軸的垂線交橢圓與另一點（不與、重合）.設的外心為，求證為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由已知條件得出關于、、的方程組，求出、的值，進而可得出橢圓的方程；

（2）由題意可知直線的斜率存在，可設直線的方程為，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，利用弦長公式求出，利用線段和的垂直平分線的交點得出點的坐標，進而得出，再對進行化簡即可.

（1）的面積的最大值為，

由已知條件得，解得，因此，橢圓的方程為；

（2）由題意可知，直線的斜率存在，且不為零，易知點，

設直線的方程為，設點、，可知點，

聯立，消去得，

由韋達定理得，，

由弦長公式得 ，

，，

所以，線段的中點為，

則線段的垂直平分線的方程為，即，

線段的垂直平分線為軸，在直線方程中，令，得.

則點，，

因此，（定值）.